析新高考思维特征 谈新课程复习教学

210008 江苏省yl8cc永利线路检测中心   李平龙

 

江苏新高考在人们的期盼中揭开了神秘的面纱．从高考卷思维特点看今后的新课程高三复习教学，是每一个数学教育工作者无法回避的课题．笔者就此谈些浅见，不妥之处敬请指正．

今年高考试题的第1至6题均是课本中的原型题，如第2题便是数学3（系指苏教版必修系列，下同）第95页的例3；第7至16题是由课本题经过精心改编、组合与引伸而成的，如第13题便是数学2第103页习题2.2第10题去掉坐标系后命制而成的；课本题之多史上罕见．这些试题既有效地考查了数学基础知识，又为中学数学的教学与备考提供了良好的导向功能．

笔者惊奇地发现江苏卷所有填空题的结论均是单一的，这有效地避免了不必要的错误．为达此目的命题专家费尽了心机，如考查类比推理的第9题与各地模拟题相比令人耳目一新，考查恒成立不等式的第14题，常规设问应该是求参数的取值范围，而此处却独具匠心地改为求参数的值．这充分体现了江苏新高考的人文关怀，值得教学中效仿．

由于支撑学科体系的主体内容在历届老高考中均得以充分的考查，而目前实施的新课程与老教材相比变化之大建国以来憾见，因此与之相应的新高考人们便拭目以待．纵观今年高考试题，传统的“函数、不等式、数列、直线与平面、直线与曲线”等五大主体内容共计考查了102分，约占全卷64%．新增内容考查了36分，略高于课时比．这足以说明“以主体知识为核心、强有力地支持课程改革”已成为新高考命题的基本原则之一．

数学思想方法是数学知识的精髓，老高考一直以来非常重视，江苏新高考又将其推向了极致．涉及数形结合思想方法的试题有6、8、9、12、14、15、17、18、20等题，共计85分．充分地考查了考生运用数形结合思想方法的自觉程度．涉及函数与方程思想方法的试题有12、13、14、17、18、19、20等题，共计87分．充分考查了考生对函数方程思想的理解、掌握及运用的程度．涉及分类讨论的试题有14、19、20等，共计37分．突出考查该思想方法的是第20题，它有力地测试了考生灵活协调“矛盾”、妥善解决“矛盾”的能力．每年必有一道试题单独用于考查分类讨论的思想方法，已在江苏高考的命题改革中得到传承．

培养具有创新精神和实践能力的人才一直是历次课改的核心，是否真正能选拔出具有创新潜能的优秀人才也是高考命题改革的轴心．今年的高考试题可谓“平凡中见伟大”，出现了一些“不太像”常规数学题的试题，暗含丰富的文化底蕴，考生只要用观察、实验、归纳等方法便可快速悟出答案，如第9、17等题．不把数列中的递推或递归作为重点，在等差数列或等比数列的内部提出高质量的问题，考查学生的创新能力、探索意识是江苏高考命题改革的一大亮点．如江苏卷2006年的数列压轴题便令人震惊，而2008年的数列题竟然与2007年的数列题如出一辙，难道不应该引起我们的思索吗．

以知识为依托，真正考察能力和意识，使被动学习者、题海战术者在应试中力不从心、难有较大作为．这是江苏高考命题追求的目标，笔者以为今年的试题已达到了这个伟大的目标．第14题在寻找必要条件中，逆向验证便可使问题快速获解；第19题中的第（2）小题，当你不能一下子造出符合条件的数列时，只要抓住目标“逆流而进”，便能完成构造；第20题在“繁冗”的数式比较过程中，若能发挥“图形”和“思维”的导航功能，便能逻辑地证明结论．

新课标规定的数学基本能力（空间想象、抽象概括、数据处理、运算求解、推理论证）和数学综合能力，在这次新高考中体现得近乎完美．这足以说明“以能力为立意、不刻意追求知识点的覆盖率、在知识的交汇处设置试题的命题思想”已成为高考命题既定的方针．

针对高考题的如上特点，新课程的高考数学复习必需铸就高目标：扎实的基础，熟练的技法和灵活的思维．下就目标的实现谈些建议．

首先要扎实一轮复习．高三的第一轮复习耗时最多、容量最大，包含新教材的必修1至5、选修系列2－1至2－3及选修4的两个专题．一轮复习的目标定位是：遵循考试说明对考点的要求并达到相应的目标层次，要以知识为主线进行复习并适当兼顾数学方法，绝不能定位过高而冲淡知识的掌握．具体实施时严格按知识点分课时进行复习，不放过复习过程中的每个细节，追求知识的全面性，而不刻意追求方法的灵活性；关于一轮复习资料，对于师资条件较好的学校，备课组或教研组应针对本校学生现状力争自编复习讲义，否则需精选一份复习资料并以此为蓝本展开复习工作；平时应严格执行每天作业制度，细水长流，日积月累；一轮复习过程中要抓好单元测试反馈关，测试卷要自命，所编试题应针对平时作业中的知识型错误，尤应突出课本题的改造，着眼于基础知识的考查，考题不宜难、考试时间不宜太长．总之，在一轮复习中有利于基础知识巩固的事多做，盲目拨高而不利于知识深化的事少做甚至不做．

其次，要加强过程复习．值得关注的是，基础知识的复习应将重点放在其发生的过程上，即该知识是如何推导出来的、和“谁”有关联、又是为了“谁”．只有不断地让学生经历直观感知和归纳发现的过程，才能在反思中使知识构建有序，才能明确知识的适用情境及其来龙去脉，才能使知识在解决问题的活动中达到“该出手时就出手”的境地，为能力提高奠定基础．

最后，知识复习要贯穿高三复习的全过程．无知便无能，高考中知识性的失误是最令人痛心的．随着知识复习的不断深入及能力复习对知识的高要求，知识应用中新的错误会不断产生，“粗心”便是师生、家长解释测试“失常”时最“善意”的“检讨”．一味地以数学思想、数学思维方法为专题，忽视与一轮复习的衔接、忽视知识，是二轮复习的大忌（详见2．3）．

首先要做好一轮渗透工作．一轮复习固然是以知识为目标的，但必须做好渗透工作．因为，技能与方法是在大量、长期、艰苦的实践中形成的．在一轮复习中一定要充分揭示数学知识发生、发展、深化乃至演变过程中的具体的数学方法，并让学生感受这些方法的适用情境．如配方法、换元法、待定系数法、比较法、引参消元法、分离常数法、判别式法、基本不等式法等均可在函数与不等式的复习中完成建构，并且在解析几何的复习中得到进一步的巩固；裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、迭代法、归纳法等则可在数列复习中习得．掌握技法就是要想方设法地掌握它们的适用情境，这样才能在陌生的情境中想到它、进而运用它．

其次，要在二轮复习中有所感悟．首先在与一轮的复习衔接时就要让学生深切体会到逻辑学中用于指导数学实践活动的“分析法、综合法、反证法”的重要性，尤其是“分析综合法”已成为我们探索解题思路的生命线：即善于对条件作一次综合、结论作一次分析，常可缩短条件和结论间的距离，找到合理的思维方式，这种思维在所有学科中均有体现．其次，在二轮复习的中期要专门安排数学思想方法专题讲座（详见2．3），让学生逐步感悟出数学思想方法的统领作用．除此而外，数形结合、函数方程的思想方法，还可在函数与解析几何的复习中让学生不断感受；化归与转化的思想可在数列与立体几何的复习中让学生反复经历与体验；而分类讨论则贯穿于数学复习的全过程，让学生感悟到它是协调“矛盾”，运用知识解决问题的重要思想方法，已在江苏卷中得到充分的体现．

最后，要想方设法教学生学会思考．学会思考的首要任务是学会解高考中常见题的思考模式．为此，务必就“三角题、立几题、解几题、应用题、数列题及函数题”等热点题型的解题技法进行全面思考与准备．如江苏数列题的特点前已述及，关键在于灵活运用基本量方法；又如，江苏高考解析几何题历来就不喜欢带向量条件的解几题，复习时没必要在此浓墨重彩；随着课改的深入已将重点转移中用代数方法研究直线与圆的性质上，为此必须学会代数化的思考方法：即力争充分利用圆的几何知识将图形的性质代数化，并能逐步认识到同一几何条件选择不同的解析工具（即相关公式）翻译的效果会不同，同一几何条件作出不同的转化后翻译的效果也会不同，若干个几何条件先后顺序的不同或其组合后的翻译的效果更会不同．

首先要营造探究氛围．思维能力的培养是一个长期而艰巨的任务，不可能一蹴而就，需要在教学过程的各个环节中长期坚持．为此，在知识梳理与例题讲评的过程中，就决不能放过可能出现的每一次探索的机会，为学生营造探究的氛围，不断经历直观感知、观察发现、归纳类比、反思构建等思维的过程．如在等差与等比数列的复习教学中，便可营造逆向思维与类比联想的氛围．由等差数列的前n项和公式知，其前n项的和是n的最多二次函数且不含常数项，反之成立吗？由等差数列的另一个前n项公式知，若{a_n}是等差数列，则其前n项的和S_n=，逆命题成立吗？等比数列的前n项和是其通项的线性函数，反之成立吗？……．能否从对等差数列与等比数列相应公式的观察中，发现两数列间类比的某种规律？并用你发现的规律，从等差数列中的某个真命题出发，类比出等比数列中类似的正确命题．如“已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若对任意自然数n均有S_n=，则数列{a_n}是等差数列”，这是前述逆向思维产生的真命题，相应的类比命题是：“已知正项数列{a_n}的前n项积为T_n，若对任意自然数n均有T_n=，则数列{a_n}是等比数列．这里添加“正项”的条件，是为了保证根式总有意义．上述对偶命题就连证明方式都可完全地类比，令人赏心悦目．

其次，要精心策划二轮的复习．一轮实施的踏实，二轮安排的合理是实现能力目标的保证．一轮复习安排前已论及，下就二轮安排谈些做法与思考．在二轮复习中可安排如下四个循环，每个循环的共同目的都是为了巩固知识、熟悉技法、发展思维、培养能力，但又各有侧重；每个循环必覆盖支撑数学学科的主干知识，能有效地克服复习过程中的遗忘；每个循环间遵循由易到难、循序渐进、相互衔接的原则，每一循环必深化上一循环的目标又要实现自身的新目标；每一个循环内部各专题间的顺序可根据学情灵活地调整；在每一个循环的教学中，仍坚持每天作业制度，作业由7道小题与3道解答题构成，时间50分钟左右，作业由备课组内老师轮流编写，要有一半以上的作业题是课本题的改编题，作业难度也遵循由易到难的原则，前期作业与当天的专题内容同步，后期作业则与专题内容不同步，只要按考纲规定的内容组织作业题便可，作业配制时更加关注新课标的新增内容．

第一循环 三角与向量的基础知识⇒函数的性质⇒平行与垂直的证明⇒直线与圆的双向研究⇒等差与等比数列中的基本方法⇒古典概型与几何概型．复习时间控制在三周以内（注每周8课时），期间会进行少量的小题能力训练，以巩固双基．

第二循环 用三角变换解三角中的三类题型⇒用导数研究函数⇒空间角与距离的计算（选考内容）⇒直线与圆锥曲线的双向研究⇒数列中的化归⇒期望与方差（选考内容）．复习时间控制在二周以内，期间会进行少量的小题能力训练和一次综合测试，综合测试以自编或改编各大市的模考题为主，命题要以知识为主线，遵循由易到难的原则，以培养学生运用知识的能力并迎接市一模．

第三循环 立体几何中的探索性问题⇒解析几何中的推理与证明⇒分类讨论的思想方法⇒数列综合应用⇒与导数相关的推理问题⇒数形结合与化归转化思想方法．复习时间控制在二周以内，期间仍会坚持每周一次的综合测试，以培养学生的数学基本能力并迎接市二模．

第四循环 三角变换要“快”⇒立几转移要“灵”⇒解几翻译要“简”⇒应用理解要“透”⇒数列化归要“活”⇒代数推理要“稳”．此轮复习至5月下旬停课为止，大约三周左右，目标就是针对高考中的核心题与热点题；所编材料一部分源于当年高考的新信息、并力争体现时代气息，另一部分源于平时作业与测试中的一些典型错误问题的改编，尤其是思维型错误的改编题；标题中用“快”、“灵”、“简”、“透”、“活”、“稳”六个行为动词，一方面体现了高考复习的高目标，另一方面增强了学生的责任意识与紧迫感；在这期间每周会进行二次综合测试，并加大测试题的能力因素，以培养综合能力并迎接本校的三模及高考的挑战．

我们把综合测试融入二轮复习的过程之中，前期以知识为测试目标，后斯以能力为测试目标，是因为我们最忌讳在高三复习的后期以考试代替复习教学的做法，那是教师无能的表现，是对复习教学的简单化，是对学生人性的摧残．

最后，要让学生学会解决热点问题的思维模式．思维能力是数学能力的核心，新课标的高考是通过数学基本能力与数学综合能力来考查数学思维的．针对高考对能力的考查，笔者认为高考复习时要努力达到下述能力目标：如果一个问题只有单一的数学方法，那么通过自身的思维一定能发现，并能靠扎实的基本功坚决地实施之；如果一个问题有多种数学思维方法，那么通过自身的思维应尽力发现其中大多数通法，并能靠自己丰富的解题实践择其优者实施之．这无疑是数学思维复习目标的至高境界，对此，只有在平时复习中（尤其是二轮复习）指导学生对一些热点题型的思维模式有足够多的积淀，学生的思维才能有质的飞跃，才能逐步形成灵活的解题思维．在前述二轮的复习与测试作用下，学生必对诸多热点问题的求解形成了较为稳定的思维模式，从而捍卫了灵活的思维．

如恒成立不等式中参数范围的确定问题，涉及到多个学科数学知识，解题有法而无定法，有极高的思维品味，颇值得思考．只有在函数思想（尤其是最值）的正确指引下，合理地进行代数变形（换元引参、分离参数），灵活地选择合适的数学方法（判别式法、配方法、基本不等法、导数法、图解法、赋值法、比较法等）求出函数的最大值或最小值或值域，才能在参数的确定上形成良好的解题方案．

只有关心数学，也即关心数学知识发生过程、数学解题探索过程的人，才能从数学学习的过程中吸取丰富的智力营养，才能达到新高考数学复习的高目标，才会在素质化的新高考数学试卷面前临“危”不乱、遇“难”不惊．

该文刊于《中学数学月刑》2008年第10期